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实系数一元二次根已知关于x的实系数二次方程x^2+kx+k^2
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：4次
问题描述：已知关于x的实系数二次方程x^2+kx+k^2-3k=0有一个模为1的虚数根，求实数k的值。
设方程的根为m和a+bi(a,b∈R且b≠0,a^2+b^2=1),由韦达定理,m+a+bi=-k,m(a+bi)=k^2-3k,消去m,得(b^2-a^2-ak)+(2ab+bk)i=k^2-3k,由复数相等的定义,得b^2-a^2-ak=k^2-3k,2ab+bk=0, ∵b≠0,
∴ k=-2a,注意到b^2=1-a^2, 得a^2+6a-1=0, a=(-3±√13)/4,
∴ k=-(-3±√13)/2.
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