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在双曲线y^2/12
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：1次
问题描述：在双曲线y^2/12-x^2/13=1的同一支上不同的三点
A(x1,y1),B(根号26，6),(x2,y2)与焦点F(0,5)的距离成等差数列。
(1)求y1+y2)
(2)证明线段AC的垂直平分线过某一定点，并求出该点的坐标
(1)由题意可知A,B,C均在双曲线的上支，双曲线实半轴长a=2√3，虚半轴长b=√13，半焦距c=5，与焦点F(0,5)对应的准线方程为y=12/5。
由双曲线的第二定义，易得|AF|=ey1-a，|BF|=6e-a，|CF|=ey2-a。
∵|AF|+|CF=2|BF|,
∴y1+y2=12.
(2)由图形的对称轴知AC的垂直平分线过定点，则必在y轴上，设此点为
P(0,y0)，则|PA|=|PC|，x1²+(y1-y0)²=x2²+(y2-y0)²，
即 (13y1²-156)/12+(y1-y0)²=(13y2²-156)/12+(y2-y0)².
整理得 25(y1+y2)(y1-y2)-24(y1-y2)y0=0.
∵ y1≠y2,y1+y2=12
∴25*12-24y0=0,y0=25/2.
∵y0与A,C坐标无关，
∴AC的垂直平分线必过定点(0,25/2).
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