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在(2+根号x)^(2n+1)的展开式中,求x的幂指数是整数的各?
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：5次
问题描述：在(2+根号x)^(2n+1)的展开式中,求x的幂指数是整数的各?
解:
Tr+1=C(2n+1,r)x^[(2n+1-r)/2]*2^r
由于x的幂指数是整数,∴r为奇数.
所求系数和为
S=C(2n+1,1)*2+C(2n+1,3)*2^3+...+C(2n+1,2n+1)*2^(2n+1).
又,
(1+2)^(2n+1)=C(2n+1,0)+C(2n+1,1)*2+C(2n+1,3)*2^2+...+C(2n+1,2n+1)*2^(2n+1)
(1-2)=C(2n+1,0)-C(2n+1,1)*2+C(2n+1,2)*2^2+...+C(2n+1,2n+1)*2^(2n+1)
两式相减,得
S=[3^(2n+1)+1]/2.
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