二分搜索被定义为一种在排序数组中使用的搜索算法，通过重复将搜索间隔一分为二。二分查找的思想是利用数组已排序的信息，将时间复杂度降低到O(log N)。

二分查找算法示例 

何时在数据结构中应用二分查找的条件：
应用二分查找算法：
        1、数据结构必须是有序的。
        2、访问数据结构的任何元素都需要恒定的时间。
二分查找算法：
        在这个算法中， 通过查找中间索引“mid”将搜索空间分为两半。 

在二分查找算法中查找中间索引“mid” 

1、将搜索空间的中间元素与键进行比较。 
2、如果在中间元素找到密钥，则过程终止。
3、如果在中间元素没有找到键，则选择哪一半将用作下一个搜索空间。
        3.1、如果键小于中间元素，则使用左侧进行下一步搜索。
        3.2、如果键大于中间元素，则使用右侧进行下一步搜索。
4、这个过程一直持续到找到密钥或者总搜索空间耗尽为止。

二分查找如何工作？
要了解二分搜索的工作原理，请考虑下图：
考虑一个数组arr[] = {2, 5, 8, 12, 16, 23, 38, 56, 72, 91}，目标 = 23。
第一步：计算mid并将mid元素与key进行比较。如果键小于 mid 元素，则向左移动，如果大于 mid 则将搜索空间向右移动。
        键（即 23）大于当前中间元素（即 16）。搜索空间向右移动。

二分查找算法：将键与 16 进行比较 

密钥小于当前的中间 56。搜索空间向左移动。 

二分查找算法：将键与 56 进行比较 

第二步：如果key与mid元素的值匹配，则找到该元素并停止搜索。 

二分搜索算法：与 mid 的关键匹配 

如何实现二分查找？
二分查找算法可以通过以下两种方式实现
    1、迭代二分搜索算法
    2、递归二分查找算法
下面给出了这些方法的伪代码。
1.迭代二分查找算法：
这里我们使用 while 循环来继续比较键并将搜索空间分成两半的过程。
迭代二分搜索算法的实现：   

// C# implementation of iterative Binary Search
using System;
 
class GFG {
     
    // Returns index of x if it is present in arr[]
    static int binarySearch(int[] arr, int x)
    {
        int l = 0, r = arr.Length - 1;
        while (l <= r) {
            int m = l + (r - l) / 2;
 
            // Check if x is present at mid
            if (arr[m] == x)
                return m;
 
            // If x greater, ignore left half
            if (arr[m] < x)
                l = m + 1;
 
            // If x is smaller, ignore right half
            else
                r = m - 1;
        }
 
        // If we reach here, then element was
        // not present
        return -1;
    }
 
    // Driver code
    public static void Main()
    {
        int[] arr = { 2, 3, 4, 10, 40 };
        int n = arr.Length;
        int x = 10;
        int result = binarySearch(arr, x);
        if (result == -1)
            Console.WriteLine(
                "Element is not present in array");
        else
            Console.WriteLine("Element is present at "
                              + "index " + result);
    }
}

输出
元素出现在索引 3 处

时间复杂度： O(log N)
辅助空间： O(1)

2.递归二分查找算法：
        创建一个递归函数并将搜索空间的中间部分与键进行比较。并根据结果返回找到键的索引或调用下一个搜索空间的递归函数。
递归二分查找算法的实现：

// C# implementation of recursive Binary Search
using System;
 
class GFG {
 
    // Returns index of x if it is present in
    // arr[l..r], else return -1
    static int binarySearch(int[] arr, int l, int r, int x)
    {
        if (r >= l) {
            int mid = l + (r - l) / 2;
 
            // If the element is present at the
            // middle itself
            if (arr[mid] == x)
                return mid;
 
            // If element is smaller than mid, then
            // it can only be present in left subarray
            if (arr[mid] > x)
                return binarySearch(arr, l, mid - 1, x);
 
            // Else the element can only be present
            // in right subarray
            return binarySearch(arr, mid + 1, r, x);
        }
 
        // We reach here when element is not present
        // in array
        return -1;
    }
 
    // Driver code
    public static void Main()
    {
 
        int[] arr = { 2, 3, 4, 10, 40 };
        int n = arr.Length;
        int x = 10;
 
        int result = binarySearch(arr, 0, n - 1, x);
 
        if (result == -1)
            Console.WriteLine(
                "Element is not present in arrau");
        else
            Console.WriteLine("Element is present at index "
                              + result);
    }
}
 
// This code is contributed by Sam007.

输出
元素出现在索引 3 处

二分查找的复杂度分析：
时间复杂度： 
        最佳情况：O(1)
        平均情况：O(log N)
        最坏情况：O(log N)
辅助空间：

        O(1)，如果考虑递归调用栈则辅助空间为O(logN)。
二分查找的优点：
        二分查找比线性查找更快，特别是对于大型数组。
        比具有类似时间复杂度的其他搜索算法（例如插值搜索或指数搜索）更有效。
        二分搜索非常适合搜索存储在外部存储器（例如硬盘驱动器或云中）中的大型数据集。
二分查找的缺点：
        数组应该是排序的。
        二分查找要求将要查找的数据结构存储在连续的内存位置中。 
        二分查找要求数组的元素是可比较的，这意味着它们必须能够排序。
二分查找的应用：
        二分搜索可以用作机器学习中使用的更复杂算法的构建块，例如训练神经网络或查找模型的最佳超参数的算法。
        它可用于计算机图形学中的搜索，例如光线追踪或纹理映射的算法。
        它可用于搜索数据库。