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概率论求期望设随机变量X1,X2,···,Xm+n(n>m
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：5次
问题描述：设随机变量X1,X2, · · · ,Xm+n (n > m) 是相互独立的, 有相同的分布且有有限方差,
试求S = X1 + · · · + Xn 与T = Xm+1 + · · · + Xm+n 之间的相关系数
设 Xi 的期望值与方差分别为a, b, 即
E(Xi) = a, E(Xi^2) = a^2 + b^2
由相互独立性假设， 当 i 不等于j 时，
E(Xi Xj) = E(Xi) E(Xj) = a^2
然后就是简单的计算：
E(S) = E(T) = n * a
E(S^2) = E(T^2) = (n*a)^2 + n * b^2
E(S * T) = (n*a)^2 + (n - m) * b^2
(注意 S和T 中有(n-m)个相同的X分量)
K(S,S) = E(S^2) - E(S)^2 = n * b^2
K(T,T) = E(T^2) - E(T)^2 = n * b^2
K(S,T) = E(S * T) - E(S) * E(T) = (n - m) * b^2
S,T的相关系数
r = K(S, T) / Sqrt[ K(S,S) * K(T,T)] = (n - m) / n = 1 - m / n
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