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已知正项等差数列{an},a2,a5是方程x^2
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：5次
问题描述：已知正项等差数列{an},a2,a5是方程x^2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-1/2bn (1) 求数列{an}{bn}的通项公式。 （2）记n=an+1*bn，试证明{Cn}是递减数列。
1.
a2、a5是方程x^2-12x+27=0的两个实数根，则：
===> (x-3)*(x-9)=0
===> x=3，x=9
因为是正项等差数列，所以d＞0
则：a2=3，a5=9
而，a5=a2+
===> 9=3+3d
===> d=2
则，a1=1
所以，an=a1+(n-1)d=1+2*(n-1)=2n-1
Tn=1-(1/2)bn
则，T1=b1=1-(1/2)b1
所以，b1=2/3
当n≥2时，T=1-(1/2)b
所以，Tn-T=[1-(1/2)bn]-[1-(1/2)b]=bn
===> 1-(1/2)bn-1+(1/2)b=bn
===> (3/2)bn=(1/2)b
===> bn/b=1/3
则数列bn是以b1=2/3为首项，公比q=1/3的等比数列
所以，bn=b1*q^(n-1)=(2/3)*(1/3)^(n-1)=2/(3^n)
2.
Cn=a*bn
则，Cn=[2(n+1)-1]*2/(3^n)=2*(2n+1)/(3^n)
那么，C=2*(2n+3)/[3^(n+1)]
所以，C-C=2*(2n+3)/[3^(n+1)]-2*(2n+1)/(3^n)
=[2/(3^n)]*[(2n+3)/3-(2n+1)]
=[2/(3^n)]*(-4n/3)
＜0
所以，C＜C
即，Cn为递减数列.
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