找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 设n＝100a＋10b＋c ∵n能被11整除 ∴a＋c－b＝11　(1)　即c＝11＋b－a ∴n/11＝9a＋b＋1 ∴9a＋b＋1＝a^2＋b^2＋c^2 ∴9a＋b＋1＝a^2＋b^2＋(11＋b－a)^2 即2a^2＋2b^2＋120＋21b－2ab－31a＝0 ∵关于a的二次方程有正整数根 ∴△＝(2b＋31)^2－8(2b^2＋120＋21b)为完全平方数 即1－44b－12b^2为完全平方数 ∴b＝0　代入2a^2＋2b^2＋120＋21b－2ab－31a＝0中 　得2a^2－31a＋120＝0 解得：a＝8 从而c＝3 ∴三位数是803 第二种情况 ∴a＋c－b＝0　（2）　即c＝b－a ∴n/11＝9a＋b ∴9a＋b＝a^2＋b^2＋c^2 ∴9a＋b＝a^2＋b^2＋(b－a)^2 即2a^2＋2b^2－b－2ab－9a＝0 ∵关于a的二次方程有正整数根 ∴△＝(2b＋9)^2－8(2b^2－b)为完全平方数 即81＋44b－12b^2为完全平方数 ∴b＝5　代入2a^2＋2b^2－b－2ab－9a＝0中 　得2a^2－19a＋45＝0 解得：a＝5 从而c＝0 ∴三位数是550 综上：三位数是803、550